PERMÜTASYON
n În N olmak üzere n elemanlı bir kümenin,birbirinden farklı r tane elemanından oluşan sıralı r lilerden her birine bir kümenin r li permütasyonu denir.
N elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı;
P(n,r) = n! dir. (r £ n)
(n –r)!
Not :
Permütasyon ile kombinasyon arasındaki en önemli fark permütasyonda sıra önemli,kombinasyonda sıranın önemli olmamasıdır.Örneğin 5 tane numarasız birbirinin birbirinin aynısı formayı 5 kişiye dağıtmak tek şekilde olurken birden beşe kadar numaralanmış formaları 5 kişiye dağıtmak 5! Şekilde yapılabilir.Permütasyonla çözülebilen her soru aynı zamanda saymanın temel ilkesi ile de çözülebilir.
Örnek :
4 kişi aynı sıradaki 4 sandalyede kaç farklı biçimde oturabilir?
Çözüm:
P(4 , 4) = 4! = 4.3.2.1 = 24 farklı biçimde oturabilir.
Örnek :
8 değişik renkte boya kalemi ile bir haritadaki 3 ili kaç değişik biçimde boyayabiliriz?
Çözüm :
=336 biçimde.
Örnek :
5 değişik fizik,3 değişik tarih ve 2 değişik felsefe kitapları aynı cins kitaplar yanyana gelmek üzere bir kitaplığın rafına kaç değişik biçimde sıralanabilirler?
Çözüm :
5 fizik kitabı kendi arasında 5! =120 farklı biçimde.
3 tarih kitabı kendi arasında 3! = 6 farklı biçimde.
2 felsefe kitabı kendi arasında 2! = 2 farklı biçimde dizilebilir.
Bu 3 farklı kitapta kendi arasında 3! biçimde dizileceğinden genel çarpma kuralına göre ;
5! . 3! . 2! . 3! = 120 . 6 . 2 . 6 = 8640 farklı biçimde dizilebilirler.
TEKRARLI PERMÜTASYON
n elemanlı bir kümenin n tanesi bir türden, n tanesi başka türden, ....,n tanesi de r ninci türden ise bu n elemanın n li permütasyonlarının sayısı ;
Not :
Toplam n tane nesnenin (n1,n2, ...., nn) tanesi kendi arasında aynı olduğunda bu aynı elemanların belli durumlarda kendi aralarında yer değiştirdiklerinde yeni bir sıralama oluşmamaktadır.Bunların sayısının elenmesi gerekmektedir.Bu da n!i ; ( n1! . n2!. ...nn!)
ile bölerek yapılır.
Örnek :
“ MARMARA” kelimesindeki harflerin yerlerini değiştirerek anlamlı yada anlamsız;
a) 7 harfli kaç tane kelime yazılabilir?
b) Bunların kaç tanesi M ile başlar M ile biter?
c) Bunların kaç tanesi A ile başlar A ile biter?
d) Bunların kaç tanesinde M ‘ler yanyanadır?
e) Bunların kaç tanesinde A’ların üçü de yanyanadır?
Çözüm :
a) “MARMARA” kelimesindeki 7 harfin 2 tanesi kendi arasında aynı M ler, 2 tanesi kendi arasında aynı R ler , 3 tanesi kendi arasında A lar.
Buna göre P(7,7) = 7! = 210 farklı kelime yazılabilir.
3! .2! .2!
b) M ile başlayıp M ile biten 7 harfi kelime sayısı
M ARARA M
¯ ¯ ¯
sbt kalan 5 harf sbt
P(5,5) = 5! = 120 = 30
2! 2! 4
c) A ile başlayıp A ile biten 7 harfli kelime sayısı;
A MRAMR A
¯ ¯ ¯
sbt kalan 5 harf sbt
d) M lerin ikisinde yanyana olduğu 7 harfli kelimelerin sayısı;
MM A , R , R , A , A
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
1. 2. 3. 4. 5. 6.
P(6,6) = 6! = 60 tanedir.
2! . 3!
e) A ların üçününde yanyana olduğu 7 harfli kelimelerin sayısı
A , A , A , M , M , R , R
¯ ¯ ¯ ¯ ¯
KOMBİNASYON
n elemanlı bir kümenin r elemanlı (r £ n ) her alt kümesine bu kümenin bir kombinasyonu denir.n elemanlı bir kümenin r li bütün kombinasyonlarının sayısı:
Not :
Permütasyon, bir kümenin elemanlarının değişik sıralanışlarının sayısıdır.Kombinasyon ise sıra gözetmeksizin bulunabilecek alt kümelerinin sayısıdır.Demek ki permütasyonda sıra önemli , kombinasyonda ise önemli değildir.
Örnek :
C( n,0) + C( n, 1) + C( n,2) = 56 ise n kaçtır?
Çözüm :
C( n,0) + C (n,1) + C ( n,2) = 56
2 + 2n + n2– n = 56
n + n – 54 = 0
(n + 9 ) ( n – 6 ) = 0 ® n= - 9 ve n= 6 olur.
-9 Ï IN olduğu için alınamaz.
Örnek :
P(n,3) = 4 . C(n,4) olması için n ne olmalıdır?
Çözüm :
n.(n – 1) . ( n-2 ) = 4 . P(n,4) / 4!
n . ( n-1) . ( n-2 ) = 4 . n . ( n – 1) .( ( n – 2 ) ( n-3 )) / 4 . 3 . 2 . 1
6 = n – 3 Þ n =9
Örnek :
C( n-1 , 2 ) + c( n-1 , 1 ) = 1 ise n nedir?
Çözüm :
(n , r) + (n , r-1) = (n +1,r) olduğundan,
( n-1,2 ) + ( n-1,1 ) = ( n,2 ) olur.
( n,2 ) = 1 Þ n = 2 dir.Çünkü ( 2,2 ) = 1 dir.
( n-1,2 ) = ( 1,2 ) dir.Oysa birer elemanlı kümenin ikili kombinasyonu olmayacağından
Ç = Æ dir.
BİNOM AÇILIMI
(a . b)m = am . bm
( a )m = am dir. Fakat ( a ± b)m ¹ am ± bm dir.
b bm
Buna göre iki ya da daha fazla terim toplamının ya da farkının parantez kuvvetini açmak için kullanılan metodlardan biri paskal üçgeni,diğeri de binom açılımıdır.
x,y Î R , n Î Z+ = {1 , 2 , 3 , .....} için (x + y)n =S (n,r) . xn-r . yr dir.
Bu formüle binom açılımı denir.
( x +y )n = ( n ) . xn + ( n ) . xn-1 .y + .... + ( n ) . xn-r . yr + .... ( n ) . yn
0 1 r n
Bu formüle iki yada daha fazla terimli ifadelerin pozitif tam sayı olan kuvvetlerinin açılımları bulunur ( x+y )n açılımının.
Özellikleri :
1) ( x+y )n açılımında birbirinden farklı elde edilebilecek maksimum terim sayısı ( n+1 ) tanedir.
2) Her terimdeki değişkenlerin kuvvetleri toplamı parantez kuvveti olan (n) e eşittir.Yani her terimdeki (x) ve (y) nin kuvvetleri toplamı n dir.
3) ( x + y)n açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için parantez içindeki değişkenler ( x ve y ) yerine 1 konur.
Buna göre;
(1 + 1)n = 2n katsayılar toplamı olur.
4) ( x +y)n açıldığında baştan ( r + 1) terim
C( n , r ) x n-r . y r dir.
5) ( n ) = ( n ) olduğundan ( x + y )n açılımındaki baştan ve
r n - r
sondan eşit uzaklıktaki terimlerin katsayıları eşittir.
6) (x + y)naçılımında (k < n) olmak üzere sondan k terimin baştan sırası (r)
k = ( n + 2) – r ile bulunur.
Örnek :
( 3a + b )4 açılımını yapınız.
Çözüm :
(3a + b)4 = (4 ) .(3a)4. b0 + (4) .(3a)3 . b1 + ( 4 ) (3a)2. b2 + ( 4 ) (3a) b3 + ( 4 )4 b
0 1 2 3 4
= 81 a4 + 108 a3b + 54 a2 b2 +12 ab3 + b4
Yukarıda görüldüğü gibi (3a + b )4 açılımında toplam (4 + 1) = 5 tane terim elde edilip,burada 81 , 108 , 54 ,12 ve 1 katsayılardır.
Katsayılar toplamı = 81 + 108 + 54 + 12 + 1 = 256 olur.
Pratik olarak katsayılar toplamı = (3 . 1 + 1)4 =44 =256 olur.
a=b= 1 için
Örnek :
( a3 + 2 )12 açılımında terimleri “a” nın azalan kuvvetlerine göre sıralarsak ;
a2
a) Baştan 3. terim nedir?
b) Baştan 4. terimin katsayısı nedir?
c) Sondan 2. terim nedir?
Çözüm :
( I +II )n açılımında baştan “r” inci terim = In – r +1 . II r –1 ile bulunacağından ;
a) ( a3 + 2 )12 açılımında
a2
I= a3 , II = = 2 . a-2 n =12 r =3
3.terim = (12 ) (a3)10 (2 . a-2)2 = 12 . 11 .a30 . 22 .(a-4 ) = 264 . a26 olur.
2 2
b) Baştan 4. terim de r = 4 olmalı
4. terim = ( 12 ) (a3)9 (2 . a-2 )3 = 12 . 11 . 10 .a27 .23 .a-6
3 3 . 2 . 1
= 1760 a 21 olur ki burada katsayı : (1760) bulunur.
c)Sondan 2. terimin baştan sırası olan r
r = (12 + 2) – 2 = 12 olur.
12. terim = (a3)1 (2a-a )11 = 12 . a3 . 211 . a-22 = 3 . 213 .a-20 bulunur.
UYGULAMALAR
Örnek :
Spor toto oyununda 13 maçı da kesin bilmek için en az kaç kolon oynamak gerekir?
Çözüm :
Her maç için 0 , 1 , 2 olmak üzere 3 seçenek vardır.Saymanın temel ilkesine göre 13 maçıda kesin bilmek için
3 . 3 . 3 . ..............3 = 313 kolon oynamak gerekir.
Örnek :
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 rakamlarını kullanarak;
a) 3 basamaklı kaç sayı yazılabilir?
b) 3 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
c) 3 basamaklı 400 den büyük kaç çift sayı yazılabilir?
d) 4 basamaklı sayılaradan kaç tanesi 3 ile başlar ve 4 ile biter?
P(n,r) = n! dir. (r £ n)[/FOn –r)!
Not :
Permütasyon ile kombinasyon arasındaki en önemli fark permütasyonda sıra önemli,kombinasyonda sıranın önemli olmamasıdır.Örneğin 5 tane numarasız birbirinin birbirinin aynısı formayı 5 kişiye dağıtmak tek şekilde olurken birden beşe kadar numaralanmış formaları 5 kişiye dağıtmak 5! Şekilde yapılabilir.Permütasyonla çözülebilen her soru aynı zamanda saymanın temel ilkesi ile de çözülebilir.
Örnek :
4 kişi aynı sıradaki 4 sandalyede kaç farklı biçimde oturabilir?
Çözüm:
P(4 , 4) = 4! = 4.3.2.1 = 24 farklı biçimde oturabilir.
Örnek :
8 değişik renkte boya kalemi ile bir haritadaki 3 ili kaç değişik biçimde boyayabiliriz?
Çözüm :
=336 biçimde.
Örnek :
5 değişik fizik,3 değişik tarih ve 2 değişik felsefe kitapları aynı cins kitaplar yanyana gelmek üzere bir kitaplığın rafına kaç değişik biçimde sıralanabilirler?
Çözüm :
5 fizik kitabı kendi arasında 5! =120 farklı biçimde.
3 tarih kitabı kendi arasında 3! = 6 farklı biçimde.
2 felsefe kitabı kendi arasında 2! = 2 farklı biçimde dizilebilir.
Bu 3 farklı kitapta kendi arasında 3! biçimde dizileceğinden genel çarpma kuralına göre ;
5! . 3! . 2! . 3! = 120 . 6 . 2 . 6 = 8640 farklı biçimde dizilebilirler.
