Fonksiyon

[tualim]

FONKSİYON


A. TANIM

A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.

" x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir.




Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2), (d, 3)}

biçiminde de gösterilir.



* Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.

* Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.

* s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

I) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.

II) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.

III) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir.

* Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.



B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM

f ve g birer fonksiyon olsun.

f : A ® IR

g : B ® IR

olmak üzere,

I) f ± g: A Ç B ® IR

(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)

II) f . g: A Ç B ® IR

(f . g)(x) = f(x) . g(x)

III)






C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.

"x1, x2 Î A için, f(x1) = f(x2) iken

x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.

* s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı






2. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

* f : A ® B

f(A) = B ise, f örtendir.

* s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı

m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.



3. İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

* İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.

* s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.



4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon

Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

f : IR ® IR

f(x) = x

birim (etkisiz) fonksiyondur.

* Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.



5. Sabit Fonksiyon

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.

* "x Î A ve c Î B için

f : A ® B

f(x) = c

fonksiyonu sabit fonksiyondur.

* s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.



6. Çift ve Tek Fonksiyon

f : IR ® IR

f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

* Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.

* Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.



D. EŞİT FONKSİYON

f : A ® B

g : A ® B

"x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.



E. PERMÜTASYON FONKSİYONU

f : A ® A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.

A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A

f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup biçiminde gösterilir.



F. TERS FONKSİYON

f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur.







* Uygun koşullarda, f(a) = b * f – 1(b) = a dır.

* f : IR ® IR, f(x) = ax + b ise,

*





* (f – 1) – 1 = f dir.

* (f – 1(x)) – 1 ¹ f(x) tir.

*> y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.



* B Ì IR olmak üzere,



f(x) = ax2 + bx + c ise,





* B Ì IR olmak üzere,



f(x) = ax2 + bx + c ise,





G. BİLEŞKE FONKSİYON

1. Tanım

f : A ® B

g : B ® C

olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

(gof)(x) = g[f(x)] tir.



2. Bileşke Fonksiyonun Özelikleri

I) Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur.

fog ¹ gof



Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Fakat bu, bileşke işleminin değişme özeliği olmadığını değiştirmez.




II) Bileşke işleminin birleşme özeliği vardır.

fo(goh) = (fog)oh = fogoh

III) foI = Iof = f

olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.

IV) fof – 1 = f – 1of = I

olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.

V) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.