tualimforum.com - Kosinüs Teoremi Hakkında

Kosinüs Teoremi Hakkında

http://img155.imageshack.us/img155/6...dreiecksvg.png

Şekil 1: Açıları ve kenarları isimlendirilmiş bir üçgen

Kosinüs teoremi, geometride, üçgen üzerinde iki kenarı ve aralarındaki açı verilmiş iken bilinmeyen kenarı bulmak amacıyla kullanılan formüldür. Şekil 1'deki üçgene göre kosinüs teoreminin uygulanışı şu şekildedir:

http://img56.imageshack.us/img56/379...82df4b9828.png

Kosinüs teoremi, iki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde üçüncü kenarı bulmada ve üç kenar da verildiğinde açıları hesaplamada kullanılır. Ayrıca bu teorem, sadece dik üçgenlerde uygulanan Pisagor bağıntısını tüm üçgenler için geneller.

İspatı

1. Uzaklık Formülüyle
Kenarları a, b, c ve c kenarının karşısındaki açısı α olan bir üçgen düşünelim. Bu üçgeni koordinat düzleminde

http://img4.imageshack.us/img4/6107/...ba8a883e39.png

noktalarıyla çizebiliriz. Buradan da uzaklık formülüyle

http://img217.imageshack.us/img217/2...90b60abddf.png

bağıntısı çıkar. Bu bağıntıdan hareketle aşağıdaki şekilde teorem ispat edilir:

http://img217.imageshack.us/img217/9...f5f02670b6.png

2. Trigonometriyle

http://img26.imageshack.us/img26/981...withcosine.png

Şekil 2: Bir dikme indirilmiş üçgen

Şekil 2'deki gibi c kenarına bir dikme indirildiğinde dik üçgendeki trigonometrik bağıntılardan aşağıdaki bağıntı çıkar:

http://img26.imageshack.us/img26/650...867c63e052.png

Her iki taraf c ile çarpıldığında ise:

http://img26.imageshack.us/img26/468...d6bb854da5.png

Aynı bağıntılar diğer kenarlara dikme indirilerek düşünülürse:

http://img3.imageshack.us/img3/1456/...d4a5ef8346.png

bağıntıları bulunur. Her iki bağıntı alt alta toplanırsa aşağıdaki bağıntı ortaya çıkar:

http://img3.imageshack.us/img3/9788/...bed15f9372.png

En başta verilen bağıntıyla bağlantı kurmak için:

http://img3.imageshack.us/img3/5623/...37a34e9088.png

yapılır. Ardından en baştaki bağıntı en sondakine yazılırsa:

http://img4.imageshack.us/img4/5257/...b4cbda55da.png elde edilir.

3. İkizkenar Üçgende Kosinüs Teoremi

Bir ikizkenar üçgende a = b ve taban açıları eşit ve γ olduğu durumda http://img24.imageshack.us/img24/9796/90901707.png olan kosinüs teoremi aşağıdaki şekli alır:

http://img24.imageshack.us/img24/189...00a6ebb111.png