tualimforum.com - Homeomorfizma - Topolojik İzomorfizm

Homeomorfizma - Topolojik İzomorfizm

Bir kahve bardağının simide sürekli deformasyonu

http://img7.imageshack.us/img7/865/mugandtorusmorph.gif

Homeomorfizma veya topolojik eşyapı (topolojik izomorfizm), matematiksel alanda topolojinin incelediği temel konulardan biridir ve iki uzayın (mesela iki şeklin) parça koparmadan sürekli olarak birbirine dönüşümünü inceler. Kelime Yunanca homoios "benzer" ve morphē "şekil-şeklini bozmak" kelimelerinden türemiştir.
Aralarında homeomorfizma olan iki cisim homeomorfik olarak adlandırılır. Topolojik açıdan bunlar aynıdır. Mesela bir üçgeni bir çembere, bir çay bardağını, çay tabağına ya da kulplu bardağı simide homeomorf kılabiliriz.
Kabaca, topolojik cisim geometrik bir nesne ise, homeomorfizma nesnenin yeni şeklini sürekli esneyerek kaplar. Bu suretle bir kare ve çember birbirlerinin homeomorfudurlar, fakat bir küre ve ortası delik küre değildirler. Topoljistler arasında saplı bardaklarından kahvelerini içerken ve simitlerini yerken çıkmış bir espri olarak, simidin kahve fincanı şekline esneyip onu kaplayarak dönüşmesini, kahve fincanının sapını tutarken açıklayamadıklarını söylerler.
İki şekil üzerinde homeomorfizmayı şu şekilde açıklayabiliriz: A şeklinden B şekline yırtmadan, parça koparmadan geçebilmek için A'dan B'ye sürekli fonksiyona ihtiyaç vardır. Ve aynı şekilde B'den A'ya geçmemiz gerekmektedir. Bunun için de fonksiyonumuz tersinir olmalı ve tersi de sürekli olmalıdır.
Kısaca "f: A->B bir homeomorfizma ise f süreklidir, tersi vardır ve tersi de süreklidir" diyebiliriz.

Matematiksel Tanım
A ve B topolojik uzaylar olmak üzere, A 'dan B 'ye sürekli, birebir, örten ve tersi de sürekli bir gönderime homeomorfizma denir. Homeomorfizmalar, tüm topolojik uzaylar topluluğu üzerinde bir denklik bağıntısı tanımlar. Böylece oluşturulan denklik sınıflarının her birine homeomorfizma sınıfı denir.
Topolojide, verilen bir topolojik uzay topluluğu için homeomorfizma sınıflarını bulmak ve bu uzayları bu sınıflara göre sınıflandırmak temel problemlerden biridir. Örneğin, tüm 1 boyutlu çokkatlıların homeomorfizma sınıfları bilinmektedir: 1 boyutlu bağlantılı bir çokkatlı, ya (0,1) açık aralığına, ya [0,1] kapalı aralığına, ya (0,1] aralığına ya da çembere homeomorfiktir.
İki boyutlu çokkatlılara yüzey denir. Tıkız, bağlantılı bir yüzeyin homeomorfizma sınıfı, Euler sayısı ve yön verilebilir olup olmadığıyla belirlenir.
Daha yüksek boyutlu çokkatlılar için homeomorfizma sınıfı problemi bu kadar basitçe yanıtlanamaz.