tualimforum.com - Digama Fonksiyonu

Digama Fonksiyonu

Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

http://upload.wikimedia.org/math/1/1...0ffccb9ae5.png

Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...olygamma_0.jpg

kompleks düzlem'de ψ(s) Digama fonksiyonu renkli bir s noktasına karşı kodlanan değer ψ(s). Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri ve tonları gösteren ise argument değerleridir.

Harmonik sayılar ile ilişkisi

Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ0(x), ψ0(x) veya http://upload.wikimedia.org/math/2/f...3e549f8865.png (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. Harmonik sayılar'la ilişkisi

http://upload.wikimedia.org/math/9/1...ad6bdd2a2c.png

Burada Hn is the n 'inci harmonik sayıdır, ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tamsayı değerleri için, açılım

http://upload.wikimedia.org/math/3/d...4d0cf95efb.png

Integral Gösterimleri

integral gösterimi

http://upload.wikimedia.org/math/b/a...64f19aea1f.png şeklindedir.

x reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz

http://upload.wikimedia.org/math/9/4...b2fc38a70f.png

harmonik sayılar için Euler integrali'dir .

Seri formülü

Digamma negatif tamsayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla

http://upload.wikimedia.org/math/0/c...9daa1ba027.png

Taylor serisi

Digama Taylor serisi'nde z=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir , . Burada

http://upload.wikimedia.org/math/8/d...a9f0db6d3c.png

yakınsaklık için |z|<1. Burada, ζ(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.

Newton serisi

Digama için Newton serisi Euler integral formulü ile :

http://upload.wikimedia.org/math/5/0...e7923fb9ef.png

Burada http://upload.wikimedia.org/math/0/0...36e0102b70.png binom katsayısı'dır

Refleksiyon formülü

Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar

http://upload.wikimedia.org/math/2/0...5a87433525.png

Özyineleme formülü

tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak Digamma fonksiyonu

http://upload.wikimedia.org/math/3/a...1280120e1c.png

Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir , bu nedenle

http://upload.wikimedia.org/math/3/b...7481c11530.png

Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir ,

http://upload.wikimedia.org/math/e/d...52b54132b5.png

burada http://upload.wikimedia.org/math/4/4...08af7deb73.png Euler-Mascheroni sabiti'dir.

Daha genel bir ifade,

http://upload.wikimedia.org/math/b/9...64812b2104.png

Gauss toplamı

Digama'nın Gaussian toplam formu

http://upload.wikimedia.org/math/8/9...2447bab98a.png

Tamsayılar için 0 < m < k. Burada, ζ(s,q) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve Bn(x) 'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ;

http://upload.wikimedia.org/math/b/1...c83082dc6d.png

ve genelleştirilmiş şekli

http://upload.wikimedia.org/math/e/8...739c7d590b.png

Burada q 'nun doğal sayı, ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .

Gauss'un digama teoremi [

Pozitif tamsayılar m ve k ( m < k ) şartıyla,digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi

http://upload.wikimedia.org/math/c/f...fb5ef57a98.png

Hesaplama & yaklaşıklık

J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir,

http://upload.wikimedia.org/math/e/6...6e8eb2a574.png veya

http://upload.wikimedia.org/math/2/0...79ea4c546c.png
http://upload.wikimedia.org/math/2/2...873cd502f0.png

n tamsayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve ζ(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur.

Özel değerler

Digama fonksiyonu için bazı özel değerler:

http://upload.wikimedia.org/math/6/f...6fca59e929.png
http://upload.wikimedia.org/math/9/c...fe39d71352.png
http://upload.wikimedia.org/math/e/e...ad0c32cb13.png
http://upload.wikimedia.org/math/6/c...1b3f0bdfd1.png
http://upload.wikimedia.org/math/2/5...24f74e0d45.png
http://upload.wikimedia.org/math/9/2...2a302c5fc4.png