tualimforum.com - Binom Dönüşümü Nedir - Binom Dönüşümü Tanımı

Binom Dönüşümü Nedir - Binom Dönüşümü Tanımı - Binom Dönüşümü Hakkında

Tümleşik matematikte binom dönüşümü bir dizinin ileri farklarını hesaplamaya yarayan bir dizi dönüşümüdür. Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan Euler dönüşümüyle yakından ilintilidir.

Tanım

Bir {an} dizisinin binom dönüşümü (T)
http://upload.wikimedia.org/math/a/8...5031cc016d.png olarak tanımlanan {sn} dizisidir.

(Ta)n = sn yazımında T bir sonsuz boyutlu işleci göstermektedir. Bu işlecin elemanları şu biçimde gösterilebilir:
http://upload.wikimedia.org/math/4/9...89522d1942.png Bu dönüşüm bir kıvrılmadır.

TT = 1 Bu, farklı bir biçimde de gösterilebilir.

http://upload.wikimedia.org/math/4/6...a230043393.png Burada δ Kronecker delta işlevini göstermektedir.

http://upload.wikimedia.org/math/f/8...1c677e4795.png işlemiyle özgün diziye geri dönülebilir.

Bir dizinin binom dönüşümü o dizinin n. ileri farkıdır.

s0 = a0http://upload.wikimedia.org/math/c/c...05dbe7d3e1.png http://upload.wikimedia.org/math/1/d...bbfb6e7ffe.png http://upload.wikimedia.org/math/2/5...e80007f6b8.png http://upload.wikimedia.org/math/e/7...e9d08566d4.png Burada Δ ileri fark işlecini simgelemektedir.

Binom dönüşümü zaman zaman ek bir imle gösterilmektedir. Bu gösterimde dönüşüm

http://upload.wikimedia.org/math/5/b...34574716ab.png biçiminde ifade edilirken bu ifadenin tersi

http://upload.wikimedia.org/math/0/5...1a955006b9.png olarak yazılır.

Örnek

Binom dönüşümleri fark tablolarında kolaylıkla gözlenebilmektedir.
0 1 10 63 324 1485
1 9 53 261 1161
8 44 208 900
36 164 692
128 528
400

0, 1, 10, 63, 324, 1485, … biçimindeki en üst satır ((2n2 + n)3n − 2 tarafından tanımlanan bir dizi) 0, 1, 8, 36, 128, 400, … köşegeninin (n22n − 1 tarafından tanımlanan bir dizi) binom dönüşümüdür.

Değişim durumları

Binom dönüşümü Bell sayılarının değişim işlecidir. Başka bir deyişle,

http://upload.wikimedia.org/math/4/a...4f59bff61e.png

eşitliği sağlanmaktadır. Burada Bn Bell sayılarını göstermektedir.

Olağan üretici işlev

Dönüşüm, diziyle ilişkilendirilmiş üretici işlevleri birbirine bağlamaktadır. Olağan üretici işlev için

http://upload.wikimedia.org/math/0/1...3a33c1a2b0.png ve
http://upload.wikimedia.org/math/9/8...2dc914c15b.png eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın.

Buradan

http://upload.wikimedia.org/math/4/e...521edb3e03.png ifadesine ulaşılabilir.

Euler dönüşümü

Olağan üretici işlevler arasındaki ilişki zaman zaman Euler dönüşümü olarak adlandırılmaktadır. İki farklı biçimde var olan dönüşüm, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırabilmektedir. Başka bir deyişle,

http://upload.wikimedia.org/math/a/0...d47f0a4390.png ifadesinde x yerine 1/2 konularak 1'e ulaşılabilir. Sağdaki terimler çok hızlı bir biçimde küçüldüklerinden bu toplam kolaylıkla hesaplanabilir.

Euler dönüşümü şu biçimde genellenbilir:

p = 0, 1, 2, … için
http://upload.wikimedia.org/math/8/1...5ce9e1c0e4.png eşitliği sağlanır.
Euler dönüşümü http://upload.wikimedia.org/math/4/6...e61e7deb7a.png hipergeometrik dizisine sıklıkla uygulanmkatadır. Bu durumda Euler dönüşümü
http://upload.wikimedia.org/math/8/5...1bbf8c6d1b.png olarak ifade edilebilmektedir.

Binom dönüşümü ve bunun farklı bir uyarlaması olan Euler dönüşümü bir sayının sürekli kesir olarak ifade edilmesinde büyük önem taşımaktadır. 0 < x < 1 sayısının sürekli kesir ifadesinin
http://upload.wikimedia.org/math/5/b...92527584ca.png olduğu varsayılsın.
Buradan

http://upload.wikimedia.org/math/7/7...19b382af3f.png ve
http://upload.wikimedia.org/math/b/2...e24d7a7d01.png sonuçlarına ulaşılabilmektedir.

Üstel üretici işlev

Üstel üretici işlev için

http://upload.wikimedia.org/math/8/4...40ae482733.png ve
http://upload.wikimedia.org/math/a/3...ea4b9900ff.png eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan
http://upload.wikimedia.org/math/c/c...4a16527435.png eşitliğine ulaşılır.

Borel dönüşümü, olağan üretici işlevi üstel üretici işleve dönüştürebilmektedir.

İntegral biçimindeki ifadesi

Dizi bir karmaşık çözümleme işleviyle değiştirildiğinde dizinin binom dönüşümü Nörlund-Rice integrali biçiminde ifade edilebilmektedir.

Genellemeler

Prodinger birimsel benzeri bir dönüşümden söz etmektedir.

http://upload.wikimedia.org/math/7/5...dccf233128.png eşitliğinin sağlandığı varsayıldığında

http://upload.wikimedia.org/math/d/a...1a77d94d5c.png ifadesine ulaşılır. Burada U ve B sırasıyla {un} ve {bn} dizileriyle ilişkilendirilmiş olağan üretici işlevleri göstermektedir.
Artan k-binom dönüşümü zaman zaman
http://upload.wikimedia.org/math/4/5...f323153b66.png biçiminde, azalan k-binom dönüşümü

http://upload.wikimedia.org/math/a/f...32cd48c9a8.png biçiminde tanımlanmaktadır. Her iki dönüşüm de bir dizinin Hankel dönüşümü özüne eşittir.

Binom dönüşümü

http://upload.wikimedia.org/math/1/3...9b9934e948.png olarak tanımlanır, bu ifade
http://upload.wikimedia.org/math/f/a...5831d92532.png

işlevine eşitlenir, yeni bir ileri fark tablosu oluşturulur ve bu tablonun her satırının ilk elemanından {bn} gibi yeni bir dizi oluşturulursa özgün dizinin ikinci binom dönüşümü
http://upload.wikimedia.org/math/3/4...f393d3a73a.png ifadesine eşit olur.

Aynı işlem k kez yinelendiğinde

http://upload.wikimedia.org/math/6/0...12bf8cc6ea.png eşitliğine ulaşılır. Bu ifadenin tersi

http://upload.wikimedia.org/math/5/f...dddb82e469.png olarak yazılır.

Bu ifadenin genel biçimi

http://upload.wikimedia.org/math/f/9...7d2471f6f7.png olarak yazılabilir. Burada http://upload.wikimedia.org/math/0/b...0503eb2a20.png değişim işlecini göstermektedir.

Bu ifadenin tersi

http://upload.wikimedia.org/math/9/b...3bed2b80e3.png biçiminde gösterilir.