tualimforum.com - Euler Formülü - Euler Formülü Çözümü

Euler Formülü

Euler Formülü Nedir - Euler Formülü Hakkında - Euler Formülü Çözümü

Euler denklemi,

http://upload.wikimedia.org/math/a/1...41595cd400.png

şeklindeki eşitliktir. Burada i kompleks sayı

http://upload.wikimedia.org/math/1/d...e937bf7d05.png

dir ve sin, cos ve enx için gerekli tüm türev ve integral koşullarını sağlamaktadır.

Bir Örnekle Denklemin İspatı

Bu basit türev denklemlerini kullanarak,

http://upload.wikimedia.org/math/9/f...f79751d919.png

http://upload.wikimedia.org/math/5/7...84f03c00cb.png

http://upload.wikimedia.org/math/9/1...c71de02709.png

Euler formülünün iki tarafının türevini alalım:

http://upload.wikimedia.org/math/a/1...6530331311.png

http://upload.wikimedia.org/math/a/0...9bdfc5e66d.png

Görüyoruz ki denklemin iki tarafının da türevini aldığımızda aynı sonucu bulduk, ki bu bizim teoremimizi ispatlar.

Formülün Varyantları

Euler formülü'nde x yerine

http://upload.wikimedia.org/math/f/2...c3bac21117.png,http://upload.wikimedia.org/math/0/6...fbb0139730.png,http://upload.wikimedia.org/math/0/3...6055fab518.png,http://upload.wikimedia.org/math/4/e...2d8d79347a.png

gibi değişkenler konularak yeni bağıntılar türetilebilir.

Bu bağıntılardan yaralanılarak yeni trigonometrik bağıntılara varılabilir. Ve yine bir kümenin alt küme sayılarını veren Bell sayıları'nı veren üreteç fonksiyonu'nde kompleks değişken verilerek trigonometrik analog'u bulunabilir. Aşağıda belirtilen gösterim şekilleri benzeştiği temel fonksiyon'a göredir

Cebirsel gösterim

http://upload.wikimedia.org/math/1/b...e20b6ad21e.png

ifadesinde x yerine

http://upload.wikimedia.org/math/2/e...816055c6b4.png

konursa

http://upload.wikimedia.org/math/d/2...b4bb657f26.png

ve bu bu ifade yukardakinin daha genel şeklidir.

http://upload.wikimedia.org/math/6/5...d20ba6ebef.png,http://upload.wikimedia.org/math/f/7...9d3a14f411.png

elde edilir (n sabit bir sayı veya herhangi bir fonksiyon olabilir.)

ayrıca yukardaki bağıntılar yardımıyla

http://upload.wikimedia.org/math/b/3...29805e8dcd.png

toplamıda bulunabilir. x yerine x^{i} konursa

http://upload.wikimedia.org/math/3/4...5d25ecaac9.png

İki katlı üstel

http://upload.wikimedia.org/math/1/b...e20b6ad21e.png

temel eşitliği üs alınarak elde edilebilen özdeşliklerdir.

http://upload.wikimedia.org/math/6/f...6bf9c6e2cb.png http://upload.wikimedia.org/math/c/d...c1c5e84d72.png http://upload.wikimedia.org/math/d/6...888f4ada53.png http://upload.wikimedia.org/math/6/a...a919a14692.png http://upload.wikimedia.org/math/f/5...7500bb372c.png

x yerine

http://upload.wikimedia.org/math/f/5...9d68ad6cf9.png

konursa;

http://upload.wikimedia.org/math/7/5...114a1f5b8f.png http://upload.wikimedia.org/math/2/a...2c9247968f.png

imajiner trigonometrik

x-->ln(x) alınırsa

http://upload.wikimedia.org/math/1/f...084268539b.png http://upload.wikimedia.org/math/a/7...335ac1aa4f.png http://upload.wikimedia.org/math/4/1...c3dc92533b.png http://upload.wikimedia.org/math/3/e...0f630f5e2f.png

Karma bağıntılar

Üslerin toplamına göre

http://upload.wikimedia.org/math/5/6...eff12231cb.png http://upload.wikimedia.org/math/e/5...12acfa67be.png ve
http://upload.wikimedia.org/math/c/d...c1c5e84d72.png http://upload.wikimedia.org/math/d/6...888f4ada53.png

yardımıyla karma bağıntılar elde edilebilir.

http://upload.wikimedia.org/math/e/c...9ee132b08d.png http://upload.wikimedia.org/math/e/8...5f3d7fb148.png

sonuç olarak

http://upload.wikimedia.org/math/a/b...cba543badd.png http://upload.wikimedia.org/math/4/6...3d44d2a1a3.png

elde edilir.

Üslerin çarpımına göre

Buradaki ifadeler

http://upload.wikimedia.org/math/7/1...5f4682e776.png http://upload.wikimedia.org/math/7/b...2698d3bd18.png

veya

http://upload.wikimedia.org/math/e/c...167c524448.png http://upload.wikimedia.org/math/c/5...5cb9b90bbe.png

eşitliğidir.

http://upload.wikimedia.org/math/8/5...069e2fa746.png http://upload.wikimedia.org/math/b/e...23d1d5d933.png http://upload.wikimedia.org/math/6/8...7862fee6f7.png http://upload.wikimedia.org/math/8/f...9544010ece.png

x yerine -x konursa;

http://upload.wikimedia.org/math/6/f...cbe3d66fb3.png http://upload.wikimedia.org/math/8/f...d6ef4009e2.png

Bell sayıları ile ilgisi

Eric Temple Bell'e atfedilmiştir.

http://upload.wikimedia.org/math/8/2...b9f9cc4869.png

x yerine ix konursa;

http://upload.wikimedia.org/math/2/a...7eb9a3c810.png http://upload.wikimedia.org/math/0/6...97279975a7.png http://upload.wikimedia.org/math/8/f...0869c6c998.png http://upload.wikimedia.org/math/8/7...98a502a926.png http://upload.wikimedia.org/math/8/5...cabfeacf7e.png

dünyanın en iyi formulü

bir çok matematikçinin hayran kaldığı formul

eiπ + 1 = 0