Binom Dönüşümü Nedir - Binom Dönüşümü Tanımı - Binom Dönüşümü Hakkında

**SERDEM** · 13.09.11, 00:36

Binom Dönüşümü Nedir - Binom Dönüşümü Tanımı - Binom Dönüşümü Hakkında

Tümleşik matematikte binom dönüşümü bir dizinin ileri farklarını hesaplamaya yarayan bir dizi dönüşümüdür. Kavram, binom dönüşümünün Euler dizisine uygulanması sonucu oluşan Euler dönüşümüyle yakından ilintilidir.

Tanım

Bir {an} dizisinin binom dönüşümü (T)
olarak tanımlanan {sn} dizisidir.

(Ta)n = sn yazımında T bir sonsuz boyutlu işleci göstermektedir. Bu işlecin elemanları şu biçimde gösterilebilir:
Bu dönüşüm bir kıvrılmadır.

TT = 1 Bu, farklı bir biçimde de gösterilebilir.

Burada δ Kronecker delta işlevini göstermektedir.

işlemiyle özgün diziye geri dönülebilir.

Bir dizinin binom dönüşümü o dizinin n. ileri farkıdır.

s0 = a0 Burada Δ ileri fark işlecini simgelemektedir.

Binom dönüşümü zaman zaman ek bir imle gösterilmektedir. Bu gösterimde dönüşüm

biçiminde ifade edilirken bu ifadenin tersi

olarak yazılır.

Örnek

Binom dönüşümleri fark tablolarında kolaylıkla gözlenebilmektedir.
0 1 10 63 324 1485
1 9 53 261 1161
8 44 208 900
36 164 692
128 528
400

0, 1, 10, 63, 324, 1485, … biçimindeki en üst satır ((2n2 + n)3n − 2 tarafından tanımlanan bir dizi) 0, 1, 8, 36, 128, 400, … köşegeninin (n22n − 1 tarafından tanımlanan bir dizi) binom dönüşümüdür.

Değişim durumları

Binom dönüşümü Bell sayılarının değişim işlecidir. Başka bir deyişle,

eşitliği sağlanmaktadır. Burada Bn Bell sayılarını göstermektedir.

Olağan üretici işlev

Dönüşüm, diziyle ilişkilendirilmiş üretici işlevleri birbirine bağlamaktadır. Olağan üretici işlev için

ve
eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın.

Buradan

ifadesine ulaşılabilir.

Euler dönüşümü

Olağan üretici işlevler arasındaki ilişki zaman zaman Euler dönüşümü olarak adlandırılmaktadır. İki farklı biçimde var olan dönüşüm, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırabilmektedir. Başka bir deyişle,

ifadesinde x yerine 1/2 konularak 1'e ulaşılabilir. Sağdaki terimler çok hızlı bir biçimde küçüldüklerinden bu toplam kolaylıkla hesaplanabilir.

Euler dönüşümü şu biçimde genellenbilir:

p = 0, 1, 2, … için
eşitliği sağlanır.
Euler dönüşümü hipergeometrik dizisine sıklıkla uygulanmkatadır. Bu durumda Euler dönüşümü
olarak ifade edilebilmektedir.

Binom dönüşümü ve bunun farklı bir uyarlaması olan Euler dönüşümü bir sayının sürekli kesir olarak ifade edilmesinde büyük önem taşımaktadır. 0 < x < 1 sayısının sürekli kesir ifadesinin
olduğu varsayılsın.
Buradan

ve
sonuçlarına ulaşılabilmektedir.

Üstel üretici işlev

Üstel üretici işlev için

ve
eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Buradan
eşitliğine ulaşılır.

Borel dönüşümü, olağan üretici işlevi üstel üretici işleve dönüştürebilmektedir.

İntegral biçimindeki ifadesi

Dizi bir karmaşık çözümleme işleviyle değiştirildiğinde dizinin binom dönüşümü Nörlund-Rice integrali biçiminde ifade edilebilmektedir.

Genellemeler

Prodinger birimsel benzeri bir dönüşümden söz etmektedir.

eşitliğinin sağlandığı varsayıldığında

ifadesine ulaşılır. Burada U ve B sırasıyla {un} ve {bn} dizileriyle ilişkilendirilmiş olağan üretici işlevleri göstermektedir.
Artan k-binom dönüşümü zaman zaman
biçiminde, azalan k-binom dönüşümü

biçiminde tanımlanmaktadır. Her iki dönüşüm de bir dizinin Hankel dönüşümü özüne eşittir.

Binom dönüşümü

olarak tanımlanır, bu ifade

işlevine eşitlenir, yeni bir ileri fark tablosu oluşturulur ve bu tablonun her satırının ilk elemanından {bn} gibi yeni bir dizi oluşturulursa özgün dizinin ikinci binom dönüşümü
ifadesine eşit olur.

Aynı işlem k kez yinelendiğinde

eşitliğine ulaşılır. Bu ifadenin tersi

olarak yazılır.

Bu ifadenin genel biçimi

olarak yazılabilir. Burada değişim işlecini göstermektedir.

Bu ifadenin tersi

biçiminde gösterilir.