Euler Formülü
Euler Formülü Nedir - Euler Formülü Hakkında - Euler Formülü Çözümü <B>Euler denklemi,
şeklindeki eşitliktir. Burada i kompleks sayı
dir ve sin, cos ve enx için gerekli tüm türev ve integral koşullarını sağlamaktadır.
Bir Örnekle Denklemin İspatı
Bu basit türev denklemlerini kullanarak,
Euler formülünün iki tarafının türevini alalım:
Görüyoruz ki denklemin iki tarafının da türevini aldığımızda aynı sonucu bulduk, ki bu bizim teoremimizi ispatlar.
Formülün Varyantları
Euler formülü'nde x yerine
gibi değişkenler konularak yeni bağıntılar türetilebilir.
Bu bağıntılardan yaralanılarak yeni trigonometrik bağıntılara varılabilir. Ve yine bir kümenin alt küme sayılarını veren Bell sayıları'nı veren üreteç fonksiyonu'nde kompleks değişken verilerek trigonometrik analog'u bulunabilir. Aşağıda belirtilen gösterim şekilleri benzeştiği temel fonksiyon'a göredir
Cebirsel gösterim
ifadesinde x yerine
konursa
ve bu bu ifade yukardakinin daha genel şeklidir.
,
elde edilir (n sabit bir sayı veya herhangi bir fonksiyon olabilir.)
ayrıca yukardaki bağıntılar yardımıyla
toplamıda bulunabilir. x yerine x^{i} konursa
İki katlı üstel
temel eşitliği üs alınarak elde edilebilen özdeşliklerdir.
x yerine
konursa;
imajiner trigonometrik
x-->ln(x) alınırsa
Karma bağıntılar
Üslerin toplamına göre
yardımıyla karma bağıntılar elde edilebilir.
sonuç olarak
elde edilir.
Üslerin çarpımına göre
Buradaki ifadeler
veya
eşitliğidir. x yerine -x konursa;
Bell sayıları ile ilgisi
Eric Temple Bell'e atfedilmiştir.
x yerine ix konursa;
dünyanın en iyi formulü
bir çok matematikçinin hayran kaldığı formul
eiπ + 1 = 0</B>