Digama Fonksiyonu

**SERDEM** · 30.08.10, 03:02

Digama Fonksiyonu

Matematik'te, digama fonksiyonu gama fonksiyonu'nun logaritmik türevi olarak tanımlanır:

Bu poligama fonksiyonu'nun ilkidir.

kompleks düzlem'de ψ(s) Digama fonksiyonu renkli bir s noktasına karşı kodlanan değer ψ(s). Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri ve tonları gösteren ise argument değerleridir.

Harmonik sayılar ile ilişkisi

Digamma fonksiyon'u, sıklıkla ψ0(x), ψ0(x) veya (eski yunan harfleriyle digama'nın gösterimi Ϝ'dir ) şeklinde gösterilir. Harmonik sayılar'la ilişkisi

Burada Hn is the n 'inci harmonik sayıdır, ve γ Euler-Mascheroni sabiti'dir. yarı tamsayı değerleri için, açılım

Integral Gösterimleri

integral gösterimi

şeklindedir.

x reel kısmının pozitif değerleri için geçerlidir.Bunu şöyle yazabiliriz

harmonik sayılar için Euler integrali'dir .

Seri formülü

Digamma negatif tamsayılar dışında kompleks düzlemde hesaplanabilir (Abramowitz and Stegun 6.3.16), yardımıyla

Taylor serisi

Digama Taylor serisi'nde z=1 verilerek elde edilen bir rasyonel zeta serisidir , . Burada

yakınsaklık için |z|<1. Burada, ζ(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur.Bu seri ile kolayca Hurwitz zeta fonksiyonu'na karşılık gelen Taylor 'serisi elde edilebilir.

Newton serisi

Digama için Newton serisi Euler integral formulü ile :

Burada binom katsayısı'dır

Refleksiyon formülü

Digama fonksiyonunu Gama fonksiyonu'na benzer bir refleksiyon formülü karşılar

Özyineleme formülü

tekrarlama ilişkisi'ne dayanılarak Digamma fonksiyonu

Böylece,1/x için "teleskop" denilebilir , bu nedenle

Burada Δ ileri diferansiyel operator'dür. Aşağıdaki formülle harmonik seri'nin kısmi toplamı tekrarlama ilişkisi'ne karşı gelir ,

burada Euler-Mascheroni sabiti'dir.

Daha genel bir ifade,

Gauss toplamı

Digama'nın Gaussian toplam formu

Tamsayılar için 0 < m < k. Burada, ζ(s,q) Hurwitz zeta fonksiyonu'dur ve Bn(x) 'i Bernoulli polinomu'dur.Çarpma teoremi'nin özel bir durumu ;

ve genelleştirilmiş şekli

Burada q 'nun doğal sayı, ve 1-qa 'nın doğal sayı olmadığı varsayılmıştır. .

Gauss'un digama teoremi [

Pozitif tamsayılar m ve k ( m < k ) şartıyla,digama fonksiyonunun Temel fonksiyon olarak ifadesi

Hesaplama & yaklaşıklık

J.M. Bernardo AS 103 algoritmiyle ile x, gerçel bir sayı olmak üzere digama fonksiyonu hesaplanabilir,

veya

n tamsayı, B(n) n 'inci Bernouilli sayısı ve ζ(n) Riemann zeta fonksiyonu'dur.

Özel değerler

Digama fonksiyonu için bazı özel değerler: