Kosinüs Teoremi Hakkında

[SERDEM]

Kosinüs Teoremi Hakkında



Şekil 1: Açıları ve kenarları isimlendirilmiş bir üçgen


Kosinüs teoremi, geometride, üçgen üzerinde iki kenarı ve aralarındaki açı verilmiş iken bilinmeyen kenarı bulmak amacıyla kullanılan formüldür. Şekil 1'deki üçgene göre kosinüs teoreminin uygulanışı şu şekildedir:



Kosinüs teoremi, iki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde üçüncü kenarı bulmada ve üç kenar da verildiğinde açıları hesaplamada kullanılır. Ayrıca bu teorem, sadece dik üçgenlerde uygulanan Pisagor bağıntısını tüm üçgenler için geneller.

İspatı

1. Uzaklık Formülüyle
Kenarları a, b, c ve c kenarının karşısındaki açısı α olan bir üçgen düşünelim. Bu üçgeni koordinat düzleminde



noktalarıyla çizebiliriz. Buradan da uzaklık formülüyle



bağıntısı çıkar. Bu bağıntıdan hareketle aşağıdaki şekilde teorem ispat edilir:



2. Trigonometriyle



Şekil 2: Bir dikme indirilmiş üçgen


Şekil 2'deki gibi c kenarına bir dikme indirildiğinde dik üçgendeki trigonometrik bağıntılardan aşağıdaki bağıntı çıkar:



Her iki taraf c ile çarpıldığında ise:



Aynı bağıntılar diğer kenarlara dikme indirilerek düşünülürse:



bağıntıları bulunur. Her iki bağıntı alt alta toplanırsa aşağıdaki bağıntı ortaya çıkar:



En başta verilen bağıntıyla bağlantı kurmak için:



yapılır. Ardından en baştaki bağıntı en sondakine yazılırsa:

elde edilir.

3. İkizkenar Üçgende Kosinüs Teoremi

Bir ikizkenar üçgende a = b ve taban açıları eşit ve γ olduğu durumda olan kosinüs teoremi aşağıdaki şekli alır: